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Décolâge - Kit pédagogique : Construction du concept de nombre - Comment situer les besoins de mes élèves ?

 
Objectif du document

  • Proposer des repères en lien avec des outils didactiques (développés dans d’autres documents relatifs à l’explicitation de jeux mathématiques mis en liens dans le texte) qui permettent d’analyser le déjà-là de l’élève à propos de la construction du concept de nombre.

 

Quels sont les repères, les étapes par lesquelles passent les élèves pour comprendre ce qu’est un nombre ?

La connaissance des différentes étapes dans la construction du concept de nombre peut aider l’enseignant à analyser les besoins de ses élèves et adapter ainsi son action pédagogique. Si l’enseignant peut, grâce à quelques questions et observations, repérer le(s) type(s) d’hypothèse(s) formulée(s) par les élèves, il pourra juger des consignes, questions, explications et matériels les plus opportuns. L’idée est de proposer des activités qui vont au-delà du « déjà-là » de l’élève en vue de faire évoluer ces représentations.
L’analyse des recherches sur la construction du nombre met en évidence que l’élève formule différentes hypothèses avant de parvenir à la représentation exacte de ce qu’est un nombre. Quatre types d’hypothèses caractérisent quatre types de conceptualisation du nombre :

  • hypothèse prénumérique ;
  • hypothèse numérique ;
  • hypothèse du dénombrement ;
  • hypothèse du comptage.

Hypothèse prénumérique

Lorsque l’élève commence à se construire une représentation de ce qu’est un nombre, il n’en est encore qu’à ses premiers balbutiements. Dans un premier temps, lorsqu’on demande à l’élève de compter, il ne connaît pas encore tout à fait la litanie, la « chanson » des nombres : il récite : « 1, 2, 3, 5, 7, 9… »

Il se peut que les paroles de ce qui n’est alors encore pour lui qu’une chanson soient parfois justes et parfois pas tout à fait. Il n’en est qu’aux prémices de l’hypothèse pré-numérique.

Par la suite, l’élève au stade de l’hypothèse pré-numérique va être capable de « chanter » correctement la litanie des nombres. Mais il n’arrive pas à « pointer » du doigt « en rythme » en même temps qu’il compte. Il n’y a pas encore de coordination entre la désignation des objets (mouvement) et la récitation du mot nombre. L’élève « compte » plus vite qu’il ne pointe ou pointe plus vite qu’il ne « compte ». 

Pour l’élève qui formule une hypothèse pré-numérique à propos du nombre, la chaîne numérique récitée est insécable. Autrement dit, si l’élève est arrêté, il ne peut pas continuer sa litanie. Il reprend sans cesse à zéro :

  • Enseignant : « Compte le plus loin possible.»
  • Élève : « 1, 2, 3, 4, 5, 6 euh…»
  • Enseignant : « Et après ? 6, …»
  • Élève : « 1, 2, 3, 4… »

Pour l’élève, la chaîne numérique est également irréversible. Il ne peut pas compter à rebours.
Le nombre n’a encore aucun sens. Il s’agit de mots qui ne renvoient à aucune signification comme « abénono » (dans la chanson du Mont Sinaï). Ces élèves ne comprennent pas encore que le nombre a une fonction particulière : dénombrer une collection d’objets.

Que faire en classe avec les élèves qui font des hypothèses de type prénumérique ?

L’objectif est de les amener petit à petit à mémoriser la chaîne numérique mais également à associer le geste à la parole, à pointer en même temps qu’ils comptent. Plusieurs activités peuvent être menées dans ce sens :

  • Des comptines qui permettront la mémorisation de la suite numérique, de la chanson des nombres.
  • Multiplier les situations dans lesquelles l’élève « récitera en rythme » la litanie tout en la vivant avec son corps comme «  compter » le nombre de pas pour traverser la rue, le nombre de marches d’escalier, applaudir autant de fois qu’il y a de bougies sur le gâteau d’anniversaire…
  • Le jeu de « La partition musicale » propose à l’élève une activité rythmique au cours     de laquelle il doit produire des rythmes sonores en suivant la partition. Cette activité     nécessite de traduire par le geste correspondant une consigne représentée sur la partition (ouvrir ou frapper les mains par exemple). Cela demande à l’élève de mobiliser le même     mécanisme que lorsqu’il doit associer le geste – pointage – à la parole – comptage.

A ce moment de la construction par l’élève de ce qu’est un nombre, aucun travail « écrit » n’est utile. C’est à travers le corps et le geste que l’élève doit intégrer l’énumération précise.

 

Hypothèse numérique

L’élève qui formule une hypothèse numérique à propos de ce qu’est le nombre « pointe » en rythme les objets en coordonnant le nombre « dit » et l’objet pointé. On dira qu’il « numérote ». A ce stade, on peut croire que l’élève a conscience du nombre mais, bien souvent, si on lui pose la question  « combien il y a de… ? », il recommence son comptage.
  • Enseignante : « Compte un petit peu combien il y a de bougies… »
  • Joséphine : « 1, 2, 3, 4, 5 »
  • Enseignante : « Combien est-ce qu’il y en a ? »
  • Joséphine: « 1, 2, 3, 4, 5 »
  • Enseignante : « Oui mais combien est-ce qu’il y en a en tout ? »
  • Joséphine : « 1, 2, 3, 4, 5 »

 

A l’hypothèse numérique, l’élève n’a pas créé mentalement l’unité (ce que l’on compte). Par conséquent, il ne peut accéder au concept de nombre. L’élève se réfère à l’objet pointé comme étant « le 1 », « le 2 », « le 3 » en tant qu’objets différents portant un nom différent.
 
Que faire en classe avec les élèves qui font des hypothèses de type numérique ?

L’objectif pour ces élèves et de leur faire prendre progressivement conscience de la fonction de dénombrement du nombre et de la notion d’unité (de ce qui est compté). Voici quelques exemples d’activités :

  • Multiplier les situations de dénombrement, en variant les « choses » à dénombrer : « aujourd’hui, on va compter combien il y a de filles présentes » ; « aujourd’hui, je voudrais savoir combien d’élèves ont des lunettes » ; « combien d’élèves ont un frère dans l’école »… Cela permet à l’élève de se rendre compte que lorsque l’on compte, on commence toujours par désigner ce que l’on compte : on détermine mentalement l’unité.
  • On peut aussi procéder avec des « collections témoins » ce qui revient à dénombrer par « 1 » (1, encore 1, et encore 1, …) pour ensuite seulement procéder à l’addition : par exemple, pour dénombrer la quantité d’élèves absents, on prend un marron par élève non présent puis, on compte les marrons.

Le fait de dénombrer par « paquets » de « un » peut permettre de « débloquer », faire évoluer dans leurs représentations certains élèves afin qu’ils créent mentalement l’unité qui leur permettra de dénombrer. En effet, dénombrer ce n’est pas simplement « nommer le dernier mot que je dis quand je compte », parce que je me suis aperçu que madame était contente quand je répétais ce dernier mot. Dénombrer revient à comprendre que la collection que je compte est composée de, par exemple, 5 « un » qui, mis ensemble, font « cinq », ce qui revient à dire le dernier mot que je dis.

  • Le « jeu de la prison du dragon » propose aux élèves de prendre un certain nombre de briques. Les paquets de briques mis bout à bout permettent de construire un mur qui enfermera le dragon dans la prison. Lors de ce jeu, l’élève doit dénombrer pour prendre un certain nombre de briques. De même, l’élève est parfois amené à décomposer son paquet de briques : prendre une brique et deux briques pour en faire trois. Ce type de manipulations est l’occasion de comprendre que dans trois, il y a plusieurs fois une brique(l’unité), et qu’ensemble elles font trois.
  • Le « jeu de la table » propose aux élèves de mettre la table pour un certain nombre d’invités. Lorsque l’élève doit prendre six couteaux pour les placer sur la table, il peut soit procéder en associant le geste à la parole « un pour le papa, un pour la maman, … » ; soit dénombrer une collection de six couteaux.
 

Hypothèse du dénombrement

Certains élèves qui sont un peu plus loin dans leur représentation de ce qu’est le nombre vont formuler l’hypothèse du dénombrement. A ce moment de sa construction du concept de nombre, l’élève a créé mentalement l’unité numérique, il sait ce que représente le « 1 » dans la situation donnée : il peut les dénombrer tous, sans répétition et sans oubli. Il a compris le principe cardinal.

Ceci dit, il est évident que certaines situations sont plus difficiles que d’autres en termes de dénombrement. Il est plus difficile d’organiser le dénombrement des arbres d’une forêt que d’une allée (disposition spatiale différente).

A ce stade, lorsqu’on pose la question à l’élève « combien y a-t-il de … ? », il ne recommence plus son dénombrement mais il répond « il y a « autant » de … ».  Néanmoins, à ce stade,  une question telle que « et si je compte en commençant de l’autre côté, combien y en aura-t-il ? », peut plonger l’élève dans la perplexité et l’amener à recommencer son dénombrement. Le principe de non pertinence de l’ordre n’est pas encore acquis. Autrement dit, pour cet élève, compter dans un sens ou dans l’autre, commencer par tel ou tel objet de la collection ne revient pas encore au même.
 
Que faire en classe avec les élèves qui font des hypothèses du type dénombrement ?
Dans ce cas-ci, il est important d’asseoir le dénombrement tout en amenant l’élève à côtoyer d’autres compétences numériques. Voici deux exemples de jeux qui possèdent ces deux fonctions :

  • Le « jeu des fleurs »  demande aux élèves non seulement de dénombrer – ils doivent prendre un certain nombre de pétales, de fleurs, de bouquets à planter dans leur jardinière – mais il les amène également à se confronter à l’équivalence numérique. En effet, dans ce jeu, cinq pétales équivalent à une fleur et cinq fleurs à un bouquet.
  • Le « jeu du devin »  demande aux élèves de deviner le nombre qui est accroché dans leur dos en posant un certain nombre de questions : « Est-il entre 2 et 6 ? Est-il plus grand que 3 ? ».  Pour pouvoir répondre aux questions, l’élève doit dénombrer le nombre de doigts présents sur la carte qui est accrochée dans le dos du copain. L’élève qui a le nombre accroché dans son propre dos doit, quant à lui, le rechercher par encadrement, ce qui nécessite de se familiariser avec l’ordre des nombres de la chaîne numérique.

 

Hypothèse du comptage

L’élève qui a construit le concept de nombre formule l’hypothèse appelée du comptage car il a compris les cinq principes du comptage :

  • la correspondance terme à terme : il sait associer le pointage et le comptage. L’élève dit « 1 » en montrant le premier objet, dit « 2 » en montrant le deuxième objet… ;
  • l’ordre stable des « mots nombres » : le « 2 » vient toujours après le « 1 », l’élève ne se trompe plus lorsqu’il récite la chaîne numérique ;
  • l’abstraction des caractéristiques propres des objets dénombrés : peu importe les objets comptés, ce sont tous des « 1 » même si certains objets sont plus grands, plus gros que d’autres… ;
  • le principe cardinal qui préside au comptage et qui fait que les « mots nombres » représentent non pas l’objet pointé mais une somme : le deuxième objet pointé est le deuxième « 1 » d’un ensemble qui s’appelle « deux » ;
  • la non pertinence de l’ordre dans lequel je procède à mon comptage : que je commence à dénombrer une collection d’un côté ou d’un autre, j’arriverai au même résultat.

A partir de ce moment, l’élève est prêt pour se lancer dans l’aventure du « système numérique » qui, contrairement au concept de nombre ne procède pas d’une conceptualisation personnelle à construire pas à pas mais bien d’une règle conventionnelle adoptée par notre société pour « organiser le nombreux ».
 

Quelques précautions…

Malgré l’existence de repères, tous les élèves n’entrent pas dans des cases !

Tous les élèves formulent ces différentes hypothèses : pré-numérique, numérique, dénombrement, comptage. Cependant, un élève peut très bien passer rapidement d’une hypothèse à l’autre, puis rester longtemps dans la suivante tandis qu’un autre élève peut passer rapidement chacune de ces étapes. Il se peut également qu’un enseignant perçoive que l’élève soit passé directement de l’hypothèse pré-numérique à l’hypothèse du dénombrement. Ceci signifie qu’il ne faut pas attendre la même chose de tous les élèves en même temps. Par contre, tous les élèves doivent être stimulés par des actions pédagogiques qui leur permettent de remettre en question, de faire évoluer leurs représentations, leur construction du concept de nombre. C’est la tâche de l’enseignant qui adapte ses actions pédagogiques selon l’analyse des besoins de ses élèves. Il peut, par exemple, les rassembler en groupes de besoins dont la composition évoluera en fonction de l’évolution des représentations de chacun. Et puisqu’il n’existe que quatre types d’hypothèse relatifs à la conceptualisation du nombre, l’enseignant ne doit différencier son action que pour au maximum quatre groupes de besoins (souvent deux ou trois).

Les hypothèses ne sont pas du tout figées! Le développement individuel de chaque élève n’est pas réductible à un niveau dans une quelconque grille : chaque élève est unique et se développe de manière personnelle. D’ailleurs, un élève peut très bien formuler plusieurs hypothèses en même temps. Il est même souvent compliqué de faire entrer les hypothèses de nos élèves dans une seule case comme le montrent ces cas d’élèves :
  • Une élève de 5 ans parvient à compter les bougies de son gâteau d’anniversaire: 1, 2, 3, 4, 5. Mais lorsque son institutrice lui demande de « lire » le panneau des anniversaires en comptant : une bougie, deux bougies, trois bougies… Le simple « ajout » du mot « bougie » dans sa litanie la rend incapable de continuer le dénombrement, elle ne « retrouve plus les paroles » de sa chanson sur les nombres !
  • Un élève qui ne connaît pas la chaîne numérique (ou de manière très restreinte) mais qui est capable de dénombrer en utilisant ses doigts comme « collection témoin ». Par exemple, il compte les arbres du jardin et vous pose ensuite la question : « il y en a comme ça (en vous montrant un nombre de doigts), ça s’appelle combien ? ». Cet élève a compris le principe du dénombrement, il ne lui manque que du vocabulaire à savoir la chaîne numérique. Il est donc à la fois dans l’hypothèse du dénombrement et l’hypothèse pré-numérique.

En conclusion, cela signifie qu’il ne faut pas forcément essayer de classer tel élève dans tel type de représentation, dans telle hypothèse. Ce n’est pas toujours aussi simple !

La construction du concept de nombre s’inscrit dans la durée

L’ensemble de ce travail de construction du concept de nombre se réalise à un rythme différent d’un élève à l’autre. Il n’est absolument pas exigé que l’élève ait atteint le dernier stade avant d’entrer à l’école primaire. Il n’est d’ailleurs pas rare que les élèves sachent calculer avant de savoir compter à cause de la difficulté de l’accès au langage.

Ainsi, on ne peut pas attendre de tous les élèves la même chose au même moment ! Nos classes sont très hétérogènes et les rythmes d’apprentissage variés. De plus, il s’agit d’un apprentissage, d’une construction évolutive, qui nécessite la remise en question d’hypothèses formulées par l’élève, de représentations, ce qui nécessite une inscription dans la durée. L’essentiel, pour l’enseignant, est d’entrer dans une démarche qui consiste à analyser les hypothèses des élèves pour adapter l’action pédagogique en fonction de cette analyse (Cf. Démarche diagnostique positive pour l’action pédagogique). La prise de conscience des différentes hypothèses permet à l’enseignant de changer de regard sur les productions de l’élève. Il pourra « reconnaître l’erreur » et la concevoir comme étant le fruit d’un raisonnement sensé, logique, en un mot : intelligent et non plus comme un manque, une « faute ».

Remarque finale

Quand à l’âge de huit ans, les élèves auront construit le concept de nombre et qu’ils seront au clair avec le fait que 1 est suivi de 2, que 2 est suivi de 3… leurs représentations seront à nouveau interrogées : l’enseignant de troisième primaire les amènera à percevoir qu’entre 1 et 2 il existe une infinité de nombre décimaux et qu’en dessous de 0 il existe les nombres négatifs. Nous sommes sans cesse appelés à remettre en question nos représentations, à faire évoluer notre déjà-là !